ЛР-03: Образовательные программы региона

Worked example: civil 02

Это полностью разобранный example по duality и анализу чувствительности. Он показывает полный цикл от прямой модели до сценарных пересчётов.

1. Исходный кейс

Пример показывает, какие программы вытесняются при ограниченных ресурсах.

Ограничения ресурсов

Ресурс	Лимит
Бюджет	90
Трудозатраты	54
Операционная ёмкость	44

Программы

Программа	Эффект	Бюджет	Трудозатраты	Операционная ёмкость
Школьное питание	82	30	22	12
Цифровые наборы	71	22	11	10
Кружки и продлёнка	76	26	18	13
Ремонт лабораторий	94	48	25	19

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog

def solve_primal(effects, A_ub, b_ub):
    result = linprog(-effects, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=[(0, 1)] * len(effects), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    shadow_prices = -result.ineqlin.marginals
    return result, shadow_prices

def solve_dual(effects, A_ub, b_ub):
    m, n = A_ub.shape
    c_dual = np.concatenate([b_ub, np.ones(n)])
    A_dual = -np.hstack([A_ub.T, np.eye(n)])
    b_dual = -effects
    result = linprog(c_dual, A_ub=A_dual, b_ub=b_dual, bounds=[(0, None)] * (m + n), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    return result

def rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta):
    new_b = b_ub.copy()
    new_b[resource_index] += delta
    result, _ = solve_primal(effects, A_ub, new_b)
    return new_b, result

program_names = ['Школьное питание', 'Цифровые наборы', 'Кружки и продлёнка', 'Ремонт лабораторий']
resource_names = ['Бюджет', 'Трудозатраты', 'Операционная ёмкость']
effects = np.array([82, 71, 76, 94], dtype=float)
A_ub = np.array([[30, 22, 26, 48], [22, 11, 18, 25], [12, 10, 13, 19]], dtype=float)
b_ub = np.array([90, 54, 44], dtype=float)

primal_result, shadow_prices = solve_primal(effects, A_ub, b_ub)
dual_result = solve_dual(effects, A_ub, b_ub)

plan_df = pd.DataFrame({
    'программа': program_names,
    'x*': np.round(primal_result.x, 4),
    'эффект на единицу': effects,
})
resources_df = pd.DataFrame({
    'ресурс': resource_names,
    'лимит': b_ub,
    'slack': np.round(primal_result.slack, 4),
    'shadow_price': np.round(shadow_prices, 4),
    'binding': np.isclose(primal_result.slack, 0.0),
})

print('Оптимальный эффект (primal):', round(-primal_result.fun, 4))
print('Оптимальное значение dual:', round(dual_result.fun, 4))
print()
print('Оптимальный план:')
display(plan_df)
print('Ресурсный разбор:')
display(resources_df)

Оптимальный эффект (primal): 240.6471
Оптимальное значение dual: 240.6471

Оптимальный план:

	программа	x*	эффект на единицу
0	Школьное питание	0.4902	82.0
1	Цифровые наборы	1.0000	71.0
2	Кружки и продлёнка	1.0000	76.0
3	Ремонт лабораторий	0.5686	94.0

Ресурсный разбор:

	ресурс	лимит	slack	shadow_price	binding
0	Бюджет	90.0	0.0000	0.0588	True
1	Трудозатраты	54.0	0.0000	3.6471	True
2	Операционная ёмкость	44.0	4.3137	0.0000	False

scenario_rows = []
for label, resource_index, delta in [
    ('Бюджет +2', 0, 2),
    ('Операционная ёмкость +2', 2, 2),
]:
    new_b, new_result = rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta)
    predicted = shadow_prices[resource_index] * delta
    actual = (-new_result.fun) - (-primal_result.fun)
    scenario_rows.append({
        'сценарий': label,
        'ресурс': resource_names[resource_index],
        'delta': delta,
        'прогноз по shadow price': round(predicted, 4),
        'факт после пересчёта': round(actual, 4),
        'разница': round(actual - predicted, 4),
    })

scenario_df = pd.DataFrame(scenario_rows)
display(scenario_df)

	сценарий	ресурс	delta	прогноз по shadow price	факт после пересчёта	разница
0	Бюджет +2	Бюджет	2	0.1176	0.1176	0.0
1	Операционная ёмкость +2	Операционная ёмкость	2	0.0000	0.0000	0.0

objective_label = 'Цифровые наборы +5 к эффекту'
objective_index = 1
objective_delta = 5

new_effects = effects.copy()
new_effects[objective_index] += objective_delta
objective_result, _ = solve_primal(new_effects, A_ub, b_ub)
objective_df = pd.DataFrame({
    'сценарий': [objective_label],
    'новый оптимальный эффект': [round(-objective_result.fun, 4)],
    'изменение эффекта': [round((-objective_result.fun) - (-primal_result.fun), 4)],
    'новое значение программы': [round(objective_result.x[objective_index], 4)],
})
display(objective_df)

	сценарий	новый оптимальный эффект	изменение эффекта	новое значение программы
0	Цифровые наборы +5 к эффекту	245.6471	5.0	1.0

2. Что важно проговорить в выводе

• какие ограничения оказались binding и почему именно они держат оптимум;

• какой ресурс имеет наибольшую теневую цену и что это означает содержательно;

• насколько хорошо совпал прогноз по shadow price с фактическим пересчётом;

• меняется ли структура плана при небольших изменениях b и c.