ЛР-03: Бюджет топливного резерва

Worked example: military 02

Это полностью разобранный example по duality и анализу чувствительности. Он показывает полный цикл от прямой модели до сценарных пересчётов.

1. Исходный кейс

Здесь duality помогает понять, чего не хватает для устойчивого резерва топлива.

Ограничения ресурсов

Ресурс	Лимит
Бюджет	95
Персонал	58
Ёмкости хранения	47

Программы

Программа	Эффект	Бюджет	Трудозатраты	Операционная ёмкость
Северный резерв	87	36	17	16
Южный резерв	83	32	15	14
Мобильные топливозаправщики	76	24	18	11
Автоматизация учёта топлива	69	18	8	9

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog

def solve_primal(effects, A_ub, b_ub):
    result = linprog(-effects, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=[(0, 1)] * len(effects), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    shadow_prices = -result.ineqlin.marginals
    return result, shadow_prices

def solve_dual(effects, A_ub, b_ub):
    m, n = A_ub.shape
    c_dual = np.concatenate([b_ub, np.ones(n)])
    A_dual = -np.hstack([A_ub.T, np.eye(n)])
    b_dual = -effects
    result = linprog(c_dual, A_ub=A_dual, b_ub=b_dual, bounds=[(0, None)] * (m + n), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    return result

def rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta):
    new_b = b_ub.copy()
    new_b[resource_index] += delta
    result, _ = solve_primal(effects, A_ub, new_b)
    return new_b, result

program_names = ['Северный резерв', 'Южный резерв', 'Мобильные топливозаправщики', 'Автоматизация учёта топлива']
resource_names = ['Бюджет', 'Персонал', 'Ёмкости хранения']
effects = np.array([87, 83, 76, 69], dtype=float)
A_ub = np.array([[36, 32, 24, 18], [17, 15, 18, 8], [16, 14, 11, 9]], dtype=float)
b_ub = np.array([95, 58, 47], dtype=float)

primal_result, shadow_prices = solve_primal(effects, A_ub, b_ub)
dual_result = solve_dual(effects, A_ub, b_ub)

plan_df = pd.DataFrame({
    'программа': program_names,
    'x*': np.round(primal_result.x, 4),
    'эффект на единицу': effects,
})
resources_df = pd.DataFrame({
    'ресурс': resource_names,
    'лимит': b_ub,
    'slack': np.round(primal_result.slack, 4),
    'shadow_price': np.round(shadow_prices, 4),
    'binding': np.isclose(primal_result.slack, 0.0),
})

print('Оптимальный эффект (primal):', round(-primal_result.fun, 4))
print('Оптимальное значение dual:', round(dual_result.fun, 4))
print()
print('Оптимальный план:')
display(plan_df)
print('Ресурсный разбор:')
display(resources_df)

Оптимальный эффект (primal): 278.75
Оптимальное значение dual: 278.75

Оптимальный план:

	программа	x*	эффект на единицу
0	Северный резерв	0.5833	87.0
1	Южный резерв	1.0000	83.0
2	Мобильные топливозаправщики	1.0000	76.0
3	Автоматизация учёта топлива	1.0000	69.0

Ресурсный разбор:

	ресурс	лимит	slack	shadow_price	binding
0	Бюджет	95.0	0.0000	2.4167	True
1	Персонал	58.0	7.0833	0.0000	False
2	Ёмкости хранения	47.0	3.6667	0.0000	False

scenario_rows = []
for label, resource_index, delta in [
    ('Бюджет +3', 0, 3),
    ('Ёмкости хранения +2', 2, 2),
]:
    new_b, new_result = rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta)
    predicted = shadow_prices[resource_index] * delta
    actual = (-new_result.fun) - (-primal_result.fun)
    scenario_rows.append({
        'сценарий': label,
        'ресурс': resource_names[resource_index],
        'delta': delta,
        'прогноз по shadow price': round(predicted, 4),
        'факт после пересчёта': round(actual, 4),
        'разница': round(actual - predicted, 4),
    })

scenario_df = pd.DataFrame(scenario_rows)
display(scenario_df)

	сценарий	ресурс	delta	прогноз по shadow price	факт после пересчёта	разница
0	Бюджет +3	Бюджет	3	7.25	7.25	0.0
1	Ёмкости хранения +2	Ёмкости хранения	2	0.00	0.00	0.0

objective_label = 'Топливозаправщики +7 к эффекту'
objective_index = 2
objective_delta = 7

new_effects = effects.copy()
new_effects[objective_index] += objective_delta
objective_result, _ = solve_primal(new_effects, A_ub, b_ub)
objective_df = pd.DataFrame({
    'сценарий': [objective_label],
    'новый оптимальный эффект': [round(-objective_result.fun, 4)],
    'изменение эффекта': [round((-objective_result.fun) - (-primal_result.fun), 4)],
    'новое значение программы': [round(objective_result.x[objective_index], 4)],
})
display(objective_df)

	сценарий	новый оптимальный эффект	изменение эффекта	новое значение программы
0	Топливозаправщики +7 к эффекту	285.75	7.0	1.0

2. Что важно проговорить в выводе

• какие ограничения оказались binding и почему именно они держат оптимум;

• какой ресурс имеет наибольшую теневую цену и что это означает содержательно;

• насколько хорошо совпал прогноз по shadow price с фактическим пересчётом;

• меняется ли структура плана при небольших изменениях b и c.