ЛР-03: Бюджет медицинской эвакуационной поддержки

Worked example: military 03

Это полностью разобранный example по duality и анализу чувствительности. Он показывает полный цикл от прямой модели до сценарных пересчётов.

1. Исходный кейс

Пример про распределение ресурсов между направлениями медико-эвакуационной поддержки.

Ограничения ресурсов

Ресурс	Лимит
Бюджет	91
Медперсонал	57
Операционная ёмкость	45

Программы

Программа	Эффект	Бюджет	Трудозатраты	Операционная ёмкость
Эвакуационные модули	89	38	20	15
Стабилизационные пункты	85	34	18	14
Запас комплектов крови	73	22	11	9
Мобильная диагностика	77	26	15	12

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.optimize import linprog

def solve_primal(effects, A_ub, b_ub):
    result = linprog(-effects, A_ub=A_ub, b_ub=b_ub, bounds=[(0, 1)] * len(effects), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    shadow_prices = -result.ineqlin.marginals
    return result, shadow_prices

def solve_dual(effects, A_ub, b_ub):
    m, n = A_ub.shape
    c_dual = np.concatenate([b_ub, np.ones(n)])
    A_dual = -np.hstack([A_ub.T, np.eye(n)])
    b_dual = -effects
    result = linprog(c_dual, A_ub=A_dual, b_ub=b_dual, bounds=[(0, None)] * (m + n), method='highs')
    if not result.success:
        raise RuntimeError(result.message)
    return result

def rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta):
    new_b = b_ub.copy()
    new_b[resource_index] += delta
    result, _ = solve_primal(effects, A_ub, new_b)
    return new_b, result

program_names = ['Эвакуационные модули', 'Стабилизационные пункты', 'Запас комплектов крови', 'Мобильная диагностика']
resource_names = ['Бюджет', 'Медперсонал', 'Операционная ёмкость']
effects = np.array([89, 85, 73, 77], dtype=float)
A_ub = np.array([[38, 34, 22, 26], [20, 18, 11, 15], [15, 14, 9, 12]], dtype=float)
b_ub = np.array([91, 57, 45], dtype=float)

primal_result, shadow_prices = solve_primal(effects, A_ub, b_ub)
dual_result = solve_dual(effects, A_ub, b_ub)

plan_df = pd.DataFrame({
    'программа': program_names,
    'x*': np.round(primal_result.x, 4),
    'эффект на единицу': effects,
})
resources_df = pd.DataFrame({
    'ресурс': resource_names,
    'лимит': b_ub,
    'slack': np.round(primal_result.slack, 4),
    'shadow_price': np.round(shadow_prices, 4),
    'binding': np.isclose(primal_result.slack, 0.0),
})

print('Оптимальный эффект (primal):', round(-primal_result.fun, 4))
print('Оптимальное значение dual:', round(dual_result.fun, 4))
print()
print('Оптимальный план:')
display(plan_df)
print('Ресурсный разбор:')
display(resources_df)

Оптимальный эффект (primal): 256.0789
Оптимальное значение dual: 256.0789

Оптимальный план:

	программа	x*	эффект на единицу
0	Эвакуационные модули	0.2368	89.0
1	Стабилизационные пункты	1.0000	85.0
2	Запас комплектов крови	1.0000	73.0
3	Мобильная диагностика	1.0000	77.0

Ресурсный разбор:

	ресурс	лимит	slack	shadow_price	binding
0	Бюджет	91.0	0.0000	2.3421	True
1	Медперсонал	57.0	8.2632	0.0000	False
2	Операционная ёмкость	45.0	6.4474	0.0000	False

scenario_rows = []
for label, resource_index, delta in [
    ('Бюджет +2', 0, 2),
    ('Медперсонал +3', 1, 3),
]:
    new_b, new_result = rerun_with_resource_change(effects, A_ub, b_ub, resource_index, delta)
    predicted = shadow_prices[resource_index] * delta
    actual = (-new_result.fun) - (-primal_result.fun)
    scenario_rows.append({
        'сценарий': label,
        'ресурс': resource_names[resource_index],
        'delta': delta,
        'прогноз по shadow price': round(predicted, 4),
        'факт после пересчёта': round(actual, 4),
        'разница': round(actual - predicted, 4),
    })

scenario_df = pd.DataFrame(scenario_rows)
display(scenario_df)

	сценарий	ресурс	delta	прогноз по shadow price	факт после пересчёта	разница
0	Бюджет +2	Бюджет	2	4.6842	4.6842	0.0
1	Медперсонал +3	Медперсонал	3	0.0000	0.0000	0.0

objective_label = 'Мобильная диагностика +6 к эффекту'
objective_index = 3
objective_delta = 6

new_effects = effects.copy()
new_effects[objective_index] += objective_delta
objective_result, _ = solve_primal(new_effects, A_ub, b_ub)
objective_df = pd.DataFrame({
    'сценарий': [objective_label],
    'новый оптимальный эффект': [round(-objective_result.fun, 4)],
    'изменение эффекта': [round((-objective_result.fun) - (-primal_result.fun), 4)],
    'новое значение программы': [round(objective_result.x[objective_index], 4)],
})
display(objective_df)

	сценарий	новый оптимальный эффект	изменение эффекта	новое значение программы
0	Мобильная диагностика +6 к эффекту	262.0789	6.0	1.0

2. Что важно проговорить в выводе

• какие ограничения оказались binding и почему именно они держат оптимум;

• какой ресурс имеет наибольшую теневую цену и что это означает содержательно;

• насколько хорошо совпал прогноз по shadow price с фактическим пересчётом;

• меняется ли структура плана при небольших изменениях b и c.